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「HDU1290」(加强) 数学 递推

发表于
字数统计: 551字 | 阅读时长 ≈ 3分钟

Links there:HDU1290(弱化版)

题意

给一个球,把球切 $N$ 刀(允许各个方向但是必须直线切),问最多可以分成多少块(对$1e9+7$取模).

加强,$N \leq 1,000,000,000$

思路

令$f(n)$表示答案,既最多可以分成的块数,$d(n)$表示二维平面内 $N$ 条直线分成的块数

考虑$f(n)$与$f(n-1)$的关系,相当于在$f(n-1)$的基础上再在一个平面内多分出$d(n-1)$块

所以有$f(n)=f(n-1)+d(n-1)$

$d(n-1) = 1+\frac{(n-1)\times n}{2}$ (这个应该小学奥数就教过吧..找一下规律就行了)

所以$f(n) = f(1) + \sum_{i=1}^{n-1}d(i)$

明显$f(1)=2$

$f(n)=2+(n-1)+\sum{i=2}^{n}\frac{n^2}{2}-\sum{i=2}^{n}\frac{n}{2}$

诶我们似乎发现把后面两个$\sum$中$i$下标从1开始对答案没有影响而且似乎更优美了!

$\therefore f(n) = n+1+\frac{n\times (n+1) \times (2n+1)}{12}+\frac{(1+n)\times n}{4}$

于是求一下逆元啊什么的就解决了啊

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//my vegetable has exploded. :(
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x<y?x:y)
#define MM(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MCPY(a,b) memcpy(a,b,sizeof(b))
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
#define int long long

inline int quickpow(int m,int n,int p){int b=1;while(n){if(n&1)b=b*m%p;n=n>>1;m=m*m%p;}return b;}
inline int getinv(int x,int p){return quickpow(x,p-2,p);}
inline int read(void){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){f=ch=='-'?-1:1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x * f;
}
const int Mod = 1e9+7;
///------------------head------------------

signed main(signed argc,char *argv[]){
    freopen("melon.in","r",stdin);
    freopen("melon.out","w",stdout);
    rep(i,1,5)
    {
        int n=read();
        int ans=(1+n+(getinv(12,Mod) * n % Mod * (n+1) % Mod * (2*n+1) % Mod) - (getinv(4,Mod) * n % Mod * (n+1) % Mod) + Mod) % Mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

/* Examples: */
/*

*/

/*

*/