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「ZJOI2007」仓库建设 -斜率优化dp

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Links there:ZJOI2007-仓库建设

题意

凑字数我来copy一波
$L$公司有$N$个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂$1$在山顶，工厂$N$在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），$L$公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，$L$公司的总裁$L$先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是$L$先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第$i$个工厂目前已有成品$P_i$件，在第$i$个工厂位置建立仓库的费用$C_i$。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于$L$公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂$N$，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送$1$个单位距离的费用是$1$。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：
$1$：工厂$i$距离工厂$1$的距离$Xi$（其中X1=0）;
$2$：工厂$i$目前已有成品数量$P_i$;
$3$：在工厂$i$建立仓库的费用$C_i$;
请你帮助$L$公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

思路

斜率题做多了真的就几步推出斜率公式维护凸包就好了 代码还短…

$O(n^3)$的转移还是非常显然的.展开后通过维护前缀和可以优化成$O(n^2)$

这是一个十分十分显然的斜率优化的形式.

老套路

假设有$x<y$, $x$的转移比$y$更优.

那么有

对这个式子维护一个凸包即可.我代码里还是用double来判断斜率的。

其实改用分母分子分别相乘判大小的写法更严谨。

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//my vegetable has exploded. :(
#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x<y?x:y)
#define MM(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MCPY(a,b) memcpy(a,b,sizeof(b))
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
#define int long long

inline int quickpow(int m,int n,int p){int b=1;while(n){if(n&1)b=b*m%p;n=n>>1;m=m*m%p;}return b;}
inline int getinv(int x,int p){return quickpow(x,p-2,p);}
inline int read(void){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){f=ch=='-'?-1:1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x * f;
}
const int MAXN = 1e6+100;
int n,x[MAXN],c[MAXN],p[MAXN],f[MAXN];
int K[MAXN],l,r;
int sump[MAXN],sumpx[MAXN];
///------------------head------------------
inline double calc(int x,int y){return 1.0*((f[x]+sumpx[x])-(f[y]+sumpx[y]))/(sump[x]-sump[y]);}
signed main(signed argc, char *argv[]){
    n=read();
    rep(i,1,n) x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read();
    rep(i,1,n) sump[i] = sump[i-1] + p[i];
    rep(i,1,n) sumpx[i] = sumpx[i-1] + x[i]*p[i];
    // rep(i,1,n) printf("%lld %lld\n",sump[i],sumpx[i]);
    rep(i,1,n){
        while(l<r && calc(K[l],K[l+1]) < x[i]) ++l;
        int j = K[l];
        f[i] = f[j] + x[i] * (sump[i] - sump[j]) - (sumpx[i] - sumpx[j]) + c[i];
        while(l<r && calc(K[r-1],K[r]) > calc(K[r],i)) --r; //维护下凸包..
        K[++r] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}